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手开方公式的推导

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今日入定冥想时突然想起,中考前数学老师教过的手算开平方(下面简称“手开方”)公式。只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式,并没有仔细琢磨其正确性以及严格证明。既然今日想起,不妨钻研一下,却竟然得出了证明。以下为完整过程,请广大数学爱好者斧正!

1.手开方公式举例:

 

上式意为65536的开平方为256。手开方过程类似于除法计算。为了方便表述,以下仍称类似位置的数为“被除数”、“除数”、“商”。以65536为例,其具体计算过程如下:

Step1:将被开方数(为了形象,表述成“被除数”,此例中即为65536)从个位往高位每两位一断写成6,55,35的形式,为了方便表述,以下每一个“,”称为一步。

Step2:从高位开始计算开方。例如第一步为6,由于22=4<6<9=32,因此只能商2(这就是和除法不同的地方,“除数”和“商”的计算位必须相同)。于是将2写在根号上方,计算开方余项。即高位余项加一步低位,此例中,即为高位余项2和低位一步55,余项即为255。

Step3:将Step2得到的第一步开方得数2乘以20(原理在后面证明)作为第二步除数的高位。即本步除数是4x(四十几)。按照要求,本步的商必须是x。因为45×5=225<255<46×6=276,所以本步商5。

Step4:按照类似方法,继续计算以后的各步。其中,每一步的除数高位都是20×已求出的部分商。例如第三步的除数高位就是25×20=500,所以第三步除数为50x。本例中,506×6=3036恰好能整除,所以256就是最终计算结果。

2.字母表示和手开方公式的证明:

既然要证明,必须先把公式一般化。简言之,用字母而不是特殊值来表示计算过程和结果。

任意正整数均可表示成

 

则正整数M开方计算得到的就是A。根据手开方公式的思路,应该写成:

 

不失一般性,对A进行推广。前面A表示正整数,现在A可以表示任意实数。因为计算开平方问题上,对于数值,正负是无所谓的。因此不妨假设A为任意正实数。即可记

(即用科学计数法表示,例如134.87可以表示为

1.3487×102=(1+3×0.1+4×0.01+8×0.001+7×0.0001)×102)

 

 

如此,每一步的开方余项都用该步的“除数”和“商”表示出来,因此,手开方公式是精确的。

再进一步推广,对于更一般的情况,即使开方结果是无理数,或循环小数的,只需令n→∞即可。由于以上证明对任意n均成立,可以推得对于n→∞也相应成立。

 

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顾毅二零零九年十月十二日写于北京

二零零九年十二月二十九日整理于福清

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共有8 条评论

  1. 我是老了,看到公式就头晕~~

  2. 那个你上面的是不是掉了个20a1a0啊,还有你的这个上面的a字母表示的不是一位数啊,是一个两位数啊。

  3. 回复匿名网友:感谢你的提醒。确实出现一个笔误。不过a表示的是一个数位,而不是两个。

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