手开方公式的推导

今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔细琢磨其正确性以及严格证明。既然今日想起，不妨钻研一下，却竟然得出了证明。以下为完整过程，请广大数学爱好者斧正！

1.手开方公式举例：

上式意为65536的开平方为256。手开方过程类似于除法计算。为了方便表述，以下仍称类似位置的数为“被除数”、“除数”、“商”。以65536为例，其具体计算过程如下：

Step1：将被开方数(为了形象，表述成“被除数”，此例中即为65536)从个位往高位每两位一断写成6,55,35的形式，为了方便表述，以下每一个“,”称为一步。

Step2：从高位开始计算开方。例如第一步为6，由于22=4<6<9=32，因此只能商2(这就是和除法不同的地方，“除数”和“商”的计算位必须相同)。于是将2写在根号上方，计算开方余项。即高位余项加一步低位，此例中，即为高位余项2和低位一步55，余项即为255。

Step3：将Step2得到的第一步开方得数2乘以20(原理在后面证明)作为第二步除数的高位。即本步除数是4x(四十几)。按照要求，本步的商必须是x。因为45×5=225<255<46×6=276，所以本步商5。

Step4：按照类似方法，继续计算以后的各步。其中，每一步的除数高位都是20×已求出的部分商。例如第三步的除数高位就是25×20=500，所以第三步除数为50x。本例中，506×6=3036恰好能整除，所以256就是最终计算结果。

2.字母表示和手开方公式的证明：

既然要证明，必须先把公式一般化。简言之，用字母而不是特殊值来表示计算过程和结果。

任意正整数均可表示成

则正整数M开方计算得到的就是A。根据手开方公式的思路，应该写成：

不失一般性，对A进行推广。前面A表示正整数，现在A可以表示任意实数。因为计算开平方问题上，对于数值，正负是无所谓的。因此不妨假设A为任意正实数。即可记

(即用科学计数法表示，例如134.87可以表示为

1.3487×102=(1+3×0.1+4×0.01+8×0.001+7×0.0001)×102)

如此，每一步的开方余项都用该步的“除数”和“商”表示出来，因此，手开方公式是精确的。

再进一步推广，对于更一般的情况，即使开方结果是无理数，或循环小数的，只需令n→∞即可。由于以上证明对任意n均成立，可以推得对于n→∞也相应成立。

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顾毅二零零九年十月十二日写于北京

二零零九年十二月二十九日整理于福清